高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列 第1课时 等比数列

发布时间:2021-09-25 07:47:47

成才之路 ·数学 人教B版 ·必修5 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 数列 第二章 2.3 等比数列 第1课时 等比数列的概念及通项公式 1 课前自主预* 3 易错疑难辨析 2 课堂典例讲练 4 课时作业 课前自主预* 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫 “出门望九堤”:“今有出门望九堤,堤有九木,木有九枝, 枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各 有几何?”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列? 1.等比数列的定义 如果一个数列从__第__2_项___起,每一项与它的前一项的比都 等于_同__一__个__常__数_____,那么这个数列叫做等比数列,这个常数 叫做等比数列的__公__比____,公比通常用字母____q____表示. 2.等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列{an}的首项为a1,公比为 q(q≠0), 填表: 递推公式 通项公式 aan-n 1=___q_____(n≥2) 3.等比中项 an=__a_1q_n_-_1__ (1)如果三个数x,G,y组成_等__比__数__列___,则G叫做x和y的 等比中项. (2)如果G是x和y的等比中项,那么___G__2=__x_y______,即 __G_=__±___xy__. 1.在等比数列{an}中,已知a1=19,a5=9,则a3=( ) A.1 B.3 C.±1 D.±3 [答案] A [解析] 设公比为q,则a5=a1q4, ∴q4=81,∴q2=9. ∴a3=a1q2=19×9=1. 2.已知-1,x,-4成等比数列,则x的值为( ) A.2 B.-52 C.2或-2 D. 2或- 2 [答案] C [解析] 由题意,得x2=4, 又∵x是-1和-4的等比中项, ∴x=±2. 3.已知等差数列{an}的公差为2,若a3是a1与a4的等比中 项,则a2=( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 [答案] B [解析] 由题意,得a=a1·a4, 即(a1+4)2=a1(a1+6), 解得a1=-8. ∴a2=a1+d=-8+2=-6. 4.某种细菌在培养过程中,每半小时分裂一次(一个分裂 为两个),经过4小时,这种细菌由1个可繁殖成________个? [答案] 256 [解析] 设逐次分裂后的个数为an,则{an}构成以a1=2为 首项,q=2为公比的等比数列,∴an=2n,经过4小时,共分裂 8次,∴a8=28=256,∴这种细菌经过4小时可由1个繁殖成256 个. 5.等比数列{an}中,a1=1,a4=8,则a6=________. [答案] 32 [解析] 设公比为q,则a4=a1q3, ∴q3=aa41=81=8,∴q=2. ∴a6=a1q5=25=32. 6.若等比数列{an}满足anan+1=16n,求公比q的值. [解析] 由anan+1=16n,得a1a2=16,a2a3=162, ∴aa21aa32=q2=16, ∴q=±4.又∵a1a2=a21q=16>0, ∴q>0,∴q=4. 课堂典例讲练 等比数列的通项公式 8,求an. 已知等比数列{an},若a1+a2+a3=7,a1a2a3= [解析] 解法一:∵a1a3=a22,∴a1a2a3=a32=8, ∴a2=2. 从而?????aa11+ a3=a3= 4 5 ,解得a1=1,a3=4或a1=4,a3=1. 当 a1=1时,q=2;当 a1=4时,q=12, 故an=2n-1或an=23-n. 解法二:由等比数列的定义知 a2=a1q,a3=a1q2. 代入已知得?????aa11+ ·a1aq1·qa+ 1q2a=1q82=7 , 即?????aa31q13?=1+8q+q2?=7 , ∴?????aa11q?1=+2q+q2??2=? 7 ?1? 将a1=2q 代入(1)得2q2-5q+2=0, ∴q=2或q=12. 由(2)得?????qa=1=21 ??a1=4 或???q=12 ,以下同解法一. 三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64, 求这三个数. [解析] 设这三个数为aq,a,aq 根据已知条件得 ??aq+a+aq=14 ① ???aq·a·aq=64 ② 由②得a=4,代入①得q=2或q=12, ∴这三个数为2,4,8或8,4,2. 等比中项 等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是 a1和a5的等比中项,则数列{an}的前10项之和是( ) A.90 B.100 C.145 D.190 [解析] 设公差为d,由题意得a22=a1·a5, ∵a1=1,∴(1+d)2=1+4d, ∴d2-2d=0,∵d≠0,∴d=2, ∴S10=10×1+10× 2 9×2=100,故选B. [答案] B 等差数列{an}中,公差d≠0,且a3是a1和a9的等比中项, 则aa21++aa43++aa190=________. [答案] 13 16 [解析] 由题意知,a3是a1和a9的等比中项, ∴a23=a1a9, ∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得a1=d, ∴aa21++aa43++aa190=1136dd=1136. 等比数列的判定 已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1(n∈N*).求 证:数列{an}是等比数列. [解析] ∵Sn=2an+1(n∈N*), ∴Sn-1=2an-1+1(n≥2), 两式相减,得an=2an-2an-1, ∴an=2an-1, 即aan-n 1=2(n≥2).故数列{an}是等比数列. 已知数列{an}的首项 a1=5,前n项和为Sn, 且Sn+1=2Sn+n +5(n∈N*).求证:数列{an+1}是等比数列. [

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