【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复*对点训练 第6讲 函数的性质2 奇偶性、周期性、对称性 Word版含解析

发布时间:2021-12-03 11:35:30

第6讲 函数的性质?二?——奇偶性、周期性、对称性

1.若函数 f(x)=3x+3 x 与 g(x)=3x-3 x 的定义域均为 R,则( C ) A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)与 g(x)均为奇函数 C.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 - 解析:f(-x)=3 x+3x=f(x), -x x g(-x)=3 -3 =-g(x),故选 C. 1+x 2.(2012· 广东省六校第四次联考)函数 f(x)=log2 的图象( A ) 1-x A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 1-x 1+x -1 1+x 解析: 因为 f(-x)=log2 =log2( ) =-log2 =-f(x), 所以函数 f(x)为奇函数, 1+x 1-x 1-x 故函数 f(x)的图象关于原点对称. 3.函数 f(x)=x3+sin x+1(x∈R),若 f(m)=2,则 f(-m)的值为( B ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析:因为 f(m)=m3+sin m+1=2,所以 m3+sin m=1, 所以 f(-m)=-m3-sin m+1=-1+1=0,故选 B. 3 9 4.(改编)f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意 x∈R 总有 f(x+ )=-f(x),则 f(- )的值 2 2 为( A ) A.0 B.3 3 9 C. D.- 2 2 3 解析:由 f(x)=-f(x+ ),知函数 f(x)的周期为 3, 2 9 9 3 则 f(- )=f(- +2×3)=f( ), 2 2 2 又函数 f(x)是奇函数, 9 9 9 3 则 f(- )=-f( )=-f( -3)=-f( ), 2 2 2 2 3 3 9 故 f( )=-f( ),所以 f(- )=0,故选 A. 2 2 2 5.设 a 为常数,函数 f(x)=x2-4x+3,若 f(x+a)为偶函数,则 a 等于 2 . 解析:(方法一)因为 f(x)=(x-2)2-1,对称轴方程为 x=2, 又 f(x+a)为偶函数,其图象关于 y 轴对称, 所以需将 f(x)图象向左*移 2 个单位长度,故 a=2. (方法二)因为 f(x)=x2-4x+3, 所以 f(x+a)=x2+(2a-4)x+(a2-4a+3), 而 f(x+a)为偶函数,所以 2a-4=0,所以 a=2. 6.(2013· 长沙月考)设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,若函数 y=f(x+1)为偶函数, 3 2 1 2 3 1 且当 x≥1 时,有 f(x)=1-2x,则 f( )、f( )、f( )的大小关系是 f( )>f( )>f( ) . 2 3 3 3 2 3 3 1 解析:由已知得 f(-x+1)=f(x+1),所以 y=f(x)的对称轴方程是 x=1,则 f( )=f( ). 2 2 x 当 x≥1 时,f(x)=1-2 是递减的,所以当 x<1 时,f(x)递增,
- -

2 1 1 2 3 1 故 f( )>f( )>f( ),即 f( )>f( )>f( ). 3 2 3 3 2 3

7.已知 f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时,f(x)的图象如图所示,那么不等 式 xf(x)<0 的解集为 (-1,0)∪(0,1) . 解析:因为 f(x)是奇函数,其图象关于原点对称, 所以当 x∈(-3,-1)∪(0,1)时,f(x)<0; 当 x∈(-1,0)∪(1,3)时,f(x)>0, 故 xf(x)<0 的解集为(-1,0)∪(0,1). -2x+b 8.(2012· 山东省聊城段考)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)解关于 t 的不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)<0. 解析:(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, -1+b -2x+1 即 =0,解得 b=1,则 f(x)= x+1 . 2+a 2 +a 1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1),知 =- , 4+a 1+a 解得 a=2. -2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x . 2 2 +2 2 +1 易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数, 又因为 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-1)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2+1). 因为 f(x)是减函数, 所以 t2-2t>-2t2+1,即 3t2-2t-1>0, 1 解不等式可得 t>1 或 t<- . 3 1 故不等式的解集为{t|t>1 或 t<- }. 3 a 9.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)时为增函数,求 a 的取值范围. 解析:(1)当 a=0 时,f(x)=x2. 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 所以 f(x)为偶函数. a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (a≠0,x≠0). x 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0, f(-1)-f(1)=-2a≠0. 所以 f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1), 所以函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)函数 f(x)在 x∈[2,+∞)时为增函数,等价于 f′(x)≥0 在 x∈[2,+∞)上恒成立. 故 a≤2x3 在 x∈[2,+∞)上恒成立,

所以 a≤(2x3)min=16. 所以 a 的取值范围是(-∞,16].


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